Resumen

El método de elemento finito constituye una de las herramientas más importantes para la aproximación numérica de ecuaciones diferenciales parciales. En años recientes, el estudio de problemas definidos sobre superficies ha adquirido una gran relevancia debido a sus aplicaciones en biología matemática, ciencia de materiales, procesamiento de imágenes, dinámica de fluidos sobre membranas y modelación geométrica.

El objetivo de este curso es introducir los fundamentos matemáticos y computacionales del método de elemento finito aplicado a ecuaciones diferenciales parciales definidas sobre superficies tridimensionales inmersas en R3. Se presentarán los conceptos geométricos básicos necesarios para definir operadores diferenciales tangenciales, tales como el gradiente tangencial y el operador de Laplace–Beltrami. Posteriormente se derivará la formulación variacional de problemas elípticos modelo sobre superficies cerradas y se discutirá la construcción de aproximaciones poligonales mediante mallas triangulares.

A partir de esta discretización geométrica se desarrollará el método de elemento finito superficial, mostrando cómo construir espacios de aproximación, ensamblar matrices y resolver numéricamente problemas tipo Laplace–Beltrami. Acto seguido, se extenderá esta metodología a problemas parabólicos dependientes del tiempo.

Asimismo, se presentarán ejemplos computacionales ilustrativos sobre superficies de interés como la esfera, el toro y otras más.

Programa del curso:

PRIMERA PARTE (2 HRS)

1. Introducción y motivación. EDPs sobre superficies y aplicaciones. (10 min)
2. Conceptos requeridos para superficies inmersas en ortogonales en :Proyecciones , gradiente tangencial y operador de Laplace Beltrami. Ejemplos del operador de Laplace-Beltrami en diversas superficies. Comparación con el operador de Laplace estándar. (35 min)
3. Formulación variacional de problemas elípticos sobre superficies. (20 min)
4. Discretización de superficies mediante mallas triangulares. (15 min)
5. Método del Elemento Finito Lineal. Ensamble de las matrices de masa, de rigidez y vector de carga. (40 min)

SEGUNDA PARTE (2 HRS)

6. Generación por computadora de mallas triangulares para regiones planas y superficies. Algoritmos para generación de mallas triangulares. Análisis de calidad de mallas. (45 min)
7. Solución numérica por computadora de la ecuación Laplace-Beltrami en su forma elíptica. (30 min)
8. Extensión a problemas parabólicos. Discretización espacial y temporal de la ecuación Laplace-Beltrami en su forma parabólica. Solución numérica por computadora de la ecuación Laplace Beltrami. (45 min)

Bibliografía

• González Mena, D. I. Patrones de Turing sobre superficies tridimensionales. Tesis de Maestría, Universidad Autónoma Metropolitana–Iztapalapa, Ciudad de México, México, 2024.
• González Mena, D. I., Valencia, L. H. Numerical Turing Patterns Formation on 3D Surfaces with a Linear Finite Element Method. Indice. Gener., No. 96, 2024.
• Johnson, C. (2009). Numerical solution of partial differential equations by the finite element method. Courier Corporation.
• Dziuk, G. Finite Elements for the Beltrami Operator on Arbitrary Surfaces. Partial Differential Equations and Calculus of Variations, Springer, 1988, pp. 142–155.
• Dziuk, G., Elliott, C. M. Finite Element Methods for Surface PDEs. Acta Numerica, Vol. 22, 2013, pp. 289–396.
• Brenner, S. C., Scott, L. R. The Mathematical Theory of Finite Element Methods. Springer, 2008.

Modalidad (presencial / virtual)

Presencial y Virtual (pueden acceder participantes en línea).

Nivel:

El curso está dirigido a estudiantes de la licenciatura en matemáticas, posgrado a nivel de maestría, ingeniería y jóvenes investigadores interesados en análisis numérico, ecuaciones diferenciales parciales y cómputo científico. Se busca proporcionar una visión general de los aspectos teóricos fundamentales y de los retos computacionales asociados a la resolución numérica de problemas definidos sobre superficies 3D.

Prerrequisitos de los asistentes al curso.

• Álgebra lineal.
• Cálculo vectorial y multivariable.
• Conocimiento de ecuaciones diferenciales parciales básicas.

Llevar Laptop o table instalando previamente las bibliotecas NumPy, SciPy y Matplotlib de Python.